Black-Scholes 모델을 사용하여 JavaScript 옵션 가격 계산기를 생성하는 방법
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작성자 GrapeCity
작성일 2021-09-27 09:53 조회 1,152회
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Black-Scholes 모델의 가정:
수익은 시간의 흐름과 관련이 없으며 정규 분포를 따른다.
주식 가격의 방향은 일정하게 예측할 수 없으며 완전히 무작위적이다.
변동성은 일정하며 미리 알 수 있다.
무위험 이자율은 일정하며 미리 주어진다.
제로 거래 비용
시장은 완전히 유동적이므로 언제든지 수량에 관계 없이 매수 또는 매도할 수 있다.
배당금 없음
이 모델의 몇 가지 이점은 다음과 같습니다.
속도. 단기간에 유럽 put 및 call 옵션의 다양한 가격을 계산할 수 있습니다.
유럽 옵션에 투자하는 경우 투자자가 더 정확한 정보를 바탕으로 투자 결정을 내릴 수 있습니다.
이 모델의 몇 가지 제한 사항은 다음과 같습니다.
가정이 현실에서 항상 들어 맞는 것은 아닙니다(이자율이 동일하게 유지될 수 없음).
많은 주식이 배당금을 지급하기 때문에 해당 주식에는 수식을 사용할 수 없습니다.
유럽 옵션에만 사용할 수 있습니다.
기초 자산의 수익이 정규 분포를 따른다고 가정하지만 항상 그런 것은 아닙니다.
금융(FinTech) 분야에서 사용할 수 있는 Black-Scholes 모델을 바탕으로 옵션 가격 책정 계산기를 만드는 방법에 대해 자세히 살펴보도록 하겠습니다,
Black-Scholes 입력값
Black-Scholes 모델을 사용하여 옵션의 가격을 책정할 때 5가지 기본 입력값(매개 변수)을 설정합니다. 5가지 입력값은 다음과 같습니다.
S0 = 기초 자산의 가격(주당 USD)
X = 행사 가격(주당 USD)
σ = 변동성(%)
r = 무위험 수익율(%)
t = 만기까지의 기간(한 해의 %)
다음은 개별 입력값에 관한 좀 더 자세한 설명입니다.
기초 자산의 가격 - 옵션 가격을 책정할 당시에 기초 유가증권이 시장에서 거래되는 가격입니다.
행사 가격 - strike price 또는 exercise price라고 하며, 옵션을 행사하도록 선택한 경우 기초 유가증권을 매입(call) 또는 매각(put)하는 가격입니다.
변동성 - 시간의 흐름에 따른 거래 가격의 변동 정도로, 주로 로그 수익률의 표준 편차로 측정됩니다.
무위험 수익율 - 지정된 기간에 투자자가 무위험 투자에서 기대할 수 있는 이자를 나타냅니다.
만기까지의 시간/만기 - 연 단위로 표시되는 만기까지의 시간입니다. 예를 들어 만기 시간이 24일이면 이 매개 변수는 t=24/365 = 0.067입니다.
아래는 옵션 가격을 계산하는 데 사용하는 입력값의 스크린샷입니다.
계산
SpreadJS에는 FinTech 응용 분야에 필요한 여러 계산기를 만드는 데 사용할 수 있는 450개 이상의 기본 제공 함수, 사용자 정의 함수, 배열 함수, 동적 배열, 공식 텍스트 상자, 현지화된 언어 함수 이름, 통계 함수, 금융 함수 등을 지원하는 포괄적인 계산 엔진이 포함되어 있습니다.
call 및 put 옵션을 계산하기 위해 아래 함수를 사용했습니다.
NORM.S.DIST(value, TRUE) - 값의 정규 누적 분포를 계산하는 데 사용됩니다.
LN(value) - 숫자의 자연 로그를 결정하는 데 사용됩니다.
EXP(value) - 부동 소수점 인수 x의 지수 값을 계산합니다.
SQRT(value) - 값의 제곱근
모델로 돌아가, call 옵션(C) 및 put 옵션(P) 가격은 다음 수식을 사용하여 계산합니다.
C = S0 *N(d1) - X* e-rt * N(d2)
P= X *e-rt* N(-d2) - S0 * N(-d1)
여기서 N(x)은 표준 정규 누적 분포 함수이고, d1 및 d2는 수식을 간소화하는 데 사용된 보조 변수입니다.
d1 및 d2에 대한 수식은 다음과 같습니다.
d1= [ln(S0/X) + t *(r + σ2/2)]/ σ* √t
d2 = d1 - σ * √t
위 표에는 옵션 가격을 결정하는 데 유용한 몇 가지 계산이 포함되어 있습니다.
보조 변수를 계산한 후에는 계속 올바른 셀의 옵션 가격을 측정할 수 있습니다. 우리가 사용하는 예에서는 다음과 같습니다.
입력값이 위와 다른 경우 call 및 put 옵션 가격을 계산하기 위해 시트에서 입력값을 변경하고 바로 계산되는 올바른 옵션 가격을 확인할 수 있습니다.
차트
이제 모델이 있으므로, 한 발 더 나아가 다른 입력 매개 변수가 결과에 어떤 영향을 미치는지 살펴볼 수 있습니다.
아래 표에는 매개 변수 중 하나가 변경되고 다른 매개 변수는 변경되지 않았을 때 call 및 put 가격의 변화를 보여 줍니다.
따라서 이 표의 첫 부분에서는 행사 가격, 시간, 이자율, 변동성은 동일하게 유지되고(모델 입력값 표와 정확하게 동일함) 주식 가격이 변경된 경우 call 및 put 옵션 가격을 계산했습니다. 다른 입력값에도 동일한 로직이 적용됩니다.
아래에는 Black-Scholes 모델 입력값이 call 및 put 옵션에 미치는 영향을 보여 주는 몇 가지 차트가 있습니다.
주식 가격(S0)
아래 차트에서는 다른 입력값은 그대로 유지되고 주식 가격을 $1에서 $200로 변경한 경우 call 및 put 값의 변화를 보여 줍니다. 주식 가격이 $90에 도달할 때까지 call 옵션의 가격은 오르지 않습니다. put 옵션은 반대로 움직이는데, 주식 가격이 $120를 초과하자 값이 0이 됩니다.
다른 입력값이 그대로 유지되는 경우 행사 가격이 상승하고 put 가치가 상승함에 따라 call 가치가 하락하는 것을 볼 수 있습니다.
만기까지의 시간(t)
다른 입력값이 그대로 유지되는 경우 만기까지의 시간이 늘어날수록 가격 책정 옵션 역시 증가합니다.
연간 무위험 이자율(r)
무위험 이자율이 증가하면 필요한 수익율도 증가합니다. 이후에는 주식 가격이 하락합니다. 직접적인 관계를 알 수 있습니다. 무위험 이자율이 증가하면 call 옵션 가치도 상승하는 반면에 put 옵션은 가치가 하락합니다.
연간 변동성(σ)
변동성은 주식의 반등 역량을 나타냅니다. 주식의 변동성이 증가하면 call 및 put 값도 상승하기 때문에 주식을 예측할 수 없게 됩니다.
Black-Scholes 모델은 옵션의 이론적 가치를 계산하는 데 사용할 수 있는 여러 가지 모델 중 하나에 불과합니다. 이 모델은 거래자 및 투자자로서 금융 시장에서 전략을 시행할 때 언제든지 사용할 수 있습니다.
요점
Black-Scholes 모델은 이론적 개념입니다. 이 모델에서 계산된 값이 만기 시점의 실제 값에 매우 가깝기 때문에 이를 사용하여 시장의 동작을 시도하고 추정합니다. 그러나 이 모델을 사용할 때 현실에서 파생된 것을 표현해야 하기 때문에 여러 가정을 고려해야 합니다.
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